Число находящееся под знаком логарифма должно быть

Логарифмические уравнения

Если немного перефразировать - Логарифм числа по основанию в котором под знаком логарифма находятся только числа, например х+2 = log . что выражение, находящееся внутри логарифма, всегда должно быть >0. Теперь, выражение Х-2 должно быть меньше (строго, так как знак в неравенстве оставляя по обе стороны только выражения, находящиеся под помни определение логарифма: логарифмом числа b по. Дайте определение логарифма числа а по основанию в. содержащее неизвестное только под знаком логарифма, называется по тому основанию, которое содержится в основании логарифма, находящегося в При найденных значениях абсцисс соответствующие им значения у должны быть равны.

Это делается очень просто: Однако данное требование выполняется автоматически, потому что в исходной задаче уже присутствует логарифм по основанию а — оно заведомо будет больше 0 и не равно 1.

Поэтому продолжаем решение логарифмического уравнения: Ее удобство состоит в том, что мы сразу можем избавиться от знака log, приравняв аргументы: Кто-то сейчас скажет, что нужно вычислить правый логарифм, либо свести их к одному основанию, либо что-то. И действительно, сейчас нужно привести оба основания к одному виду — либо 2, либо 0,5.

Но давайте раз и навсегда усвоим следующее правило: Если в логарифмическом уравнении присутствуют десятичные дроби, обязательно переведите эти дроби из десятичной записи в обычную. Такое преобразование может существенно упростить решение. Подобный переход нужно выполнять сразу, еще до выполнения каких-либо действий и преобразований.

Приравниваем аргументы и получаем классическое квадратное уравнение: Подобные выкладки в старших классах вы должны видеть буквально устно: Исходное логарифмическое уравнение решено. Мы получили два корня.

число находящееся под знаком логарифма должно быть

Напомню, что определять область определения в данном случае не требуется, поскольку функция с переменной х присутствует лишь в одном аргументе. Поэтому область определения выполняется автоматически. Итак, первое уравнение решено. Возможно, кто-то что-то не заметил, поэтому давайте я поясню.

Взгляните на наше уравнение: Тройка не является целой степенью двойки и, наоборот: Следовательно, это логарифмы с разными основаниями, которые не сводятся друг к другу простым вынесением степеней. Единственный путь решения таких задач — избавиться от одного из этих логарифмов. В данном случае, поскольку мы пока рассматриваем довольно простые задачи, логарифм справа просто сосчитался, и мы получили простейшее уравнение — именно такое, о котором мы говорили в самом начале сегодняшнего урока.

  • Логарифмические уравнения и неравенства
  • Повторяем логарифмы

А затем избавимся от знака логарифма, после чего у нас остается просто квадратное уравнение: Следовательно, решать мы его будем с помощью дискриминанта: Мы нашли оба корня, а значит, получили решение исходного логарифмического уравнения. Ведь в исходной задачи функция с переменной х присутствует лишь в одном аргументе.

§ Уравнения и неравенства, содержащие неизвестную в основании логарифмов

Следовательно, никаких дополнительных проверок на область определения не требуется — оба корня, которые мы нашли, заведомо отвечают всем возможным ограничениям. На этом можно было бы закончить сегодняшний видеоурок, но в заключении я хотел бы сказать еще раз: В большинстве случаев это существенно упрощает их решение.

Редко, очень редко попадаются задачи, в которых избавление от десятичных дробей лишь усложняет выкладки. Однако в таких уравнениях, как правило, изначально видно, что избавляться от десятичных дробей не. В большинстве остальных случаев особенно если вы только начинаете тренироваться в решении логарифмических уравнений смело избавляйтесь от десятичных дробей и переводите их в обычные.

Потому что практика показывает, что таким образом вы значительно упростите последующее решение и выкладки. Тонкости и хитрости решения Сегодня мы переходим к более сложным задачам и будем решать логарифмическое уравнение, в основании которого стоит не число, а функция. И пусть даже эта функция линейна — в схему решения придется внести небольшие изменения, смысл которых сводится к дополнительным требованиям, накладываемым на область определения логарифма.

Сложные задачи Этот урок будет довольно длинным. В нем мы разберем два довольно серьезных логарифмических уравнения, при решении которых многие ученики допускают ошибки.

За свою практику работы репетитором по математике я постоянно сталкивался с двумя видами ошибок: Возникновение лишних корней из-за расширения области определения логарифмов. Это последний урок, посвященный логарифмическим уравнениям. Он будет длинным, мы разберем сложные логарифмические уравнения. Устраивайтесь поудобней, заварите себе чай, и мы начинаем. Первое уравнение выглядит вполне стандартно: Итак, ограничения на переменную a сохраняется. Но что происходит с переменной b?

Другими словами, при выполнении данного преобразования мы должны отдельно проверить, что аргумент bотличен от единицы! Вот давайте и проверим. Значит, мы спокойно можем переворачивать логарифмическое уравнение: Предлагаю ввести новую переменную: Раскрываем разность квадратов по формуле сокращенного умножения: Но в числителе стоит произведение, поэтому приравниваем к нулю каждый множитель: Как видим, оба значения переменной tнас устраивают.

Однако на этом решение не заканчивается, ведь нам требуется найти не t, а значение x. Возвращаемся к логарифму и получаем: Давайте приведем каждое из этих уравнений к канонической форме: Такое уравнение не имеет корней, следовательно, первое логарифмическое уравнение также не имеет корней.

А вот со вторым уравнением все намного интересней: Перед нами приведенное квадратное уравнение, оно легко решается по формулам Виета: Получили два корня — они являются кандидатами на решение исходного логарифмического уравнения.

Для того чтобы понять, какие корни действительно пойдут в ответ, давайте вернемся к исходной задаче. Сейчас мы проверим каждый из наших корней на предмет соответствия области определения: Эти требования равносильны двойному неравенству: Переходим ко второй задаче: Что делать с такими конструкциями?

В первую очередь заметим, что числа 25, 5 и — это степени 5: Дело в том, что можно выносить степени из аргумента в виде множителей: Но у нас b— это просто число, и никаких дополнительных ограничений не возникает.

Логарифмы с нуля. Определение. Свойства. Примеры. Решение логарифмов. Логарифмические свойства.

Причем аргументы всех трех логарифмов равны. Самое время перевернуть логарифмы, чтобы привести их к одному основанию — 5. Поскольку в роли переменной b выступает константа, никаких изменений области определения не возникает. Предлагаю выполнить замену переменной: Выпишем числитель и раскроем скобки: Числитель должен быть равен нулю: Итак, дробно-рациональное уравнение решено, значения переменной t найдены.

Возвращаемся к решению логарифмического уравнения и вспоминаем, что такое t: Пусть это вас не смущает — даже такие аргументы можно приравнять: Точнее, два кандидата в ответы — проверим их на соответствие области определения. Напомню, что под областью допустимых значений принимаются такие значения х, которые разрешены или имеют смысл для исходного примера. Как же мы смогли попасться при решении, казалось бы, элементарного примера?

А вот именно в момент потенцирования. Логарифмы пропали, а с ними и все ограничения. Что же в таком случае делать? Отказываться от ликвидации логарифмов? И напрочь отказаться от решения этого уравнения? Нет, мы просто, как настоящие герои из одной известной песни, пойдем в обход!

Логарифмические уравнения

Перед тем, как приступать к решению любого логарифмического уравнения, будем записывать ОДЗ. А вот уж после этого можно делать с нашим уравнением все, что душа пожелает. Получив ответ, мы просто выбрасываем те корни, которые не входят в наше ОДЗ, и записываем окончательный вариант. Теперь определимся, как же записывать ОДЗ. Для этого внимательно осматриваем исходное уравнение и ищем в нем подозрительные места, вроде деления на х, корня четной степени и.

число находящееся под знаком логарифма должно быть

Пока мы не решили уравнение, мы не знаем — чему равно х, но твердо знаем, что такие х, которые при подстановке дадут деление на 0 или извлечение квадратного корня из отрицательного числа, заведомо в ответ не годятся. Поэтому такие х неприемлемы, остальные же и будут составлять ОДЗ.